Digital text

  വൃത്തത്തിന്‍റെ  പരപ്പളവ്

Learning outcomes

1. വൃത്തത്തിനകത്തെ സമബഹുഭുജങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകൾ വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവിനോട് അടുക്കുന്നു എന്ന് മനസിലാക്കുന്നു

2. വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ് അതിന്റെ ചുറ്റളവിന്റെയും ആരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ   പകുതിയാണ് എന്ന് മനസിലാക്കുന്നു.

3. വ്യത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ് ആരവർഗത്തിന്റെ π മടങ്ങാണ് എന്ന് മനസിലാക്കുന്നു.

വൃത്തത്തിന്‍റെ പരപ്പളവ്

വൃത്തത്തിനകത്തെ സമബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുന്നതനു സരിച്ച് അതിന്റെ പരപ്പളവ് വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവിനോടും അടുക്കും.

വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കാൻ, അതിനുള്ളിലെ സമബഹുഭുജങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് എങ്ങനെ കൂടുന്നു എന്നു കണക്കാക്കിയാൽ മതി. 

          വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും ബഹുഭുജത്തിന്റെ മൂലകളും യോജിപ്പിച്ച്, ബഹുഭുജത്തിന്റെ തുല്യതി കോണങ്ങളായി ഭാഗിക്കാം. ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകൾ കൂട്ടിയാൽ ബഹുഭുജത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കിട്ടും.

പഞ്ചഭുജത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം s എന്നും വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽനിന്ന് പഞ്ചഭുജത്തിന്റെ ഒരു വശത്തേയ്ക്കുള്ള ലംബത്തിന്റെ നീളം h എന്നുമെടുത്താൽ 

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ്

1/2 sh

ഇത്തരം അഞ്ചു ത്രികോണങ്ങൾ ചേർന്നതാണ് . അതിന്റെ മൊത്തം പരപ്പളവ് 

              5x1/2 sh = 1/2 × 5s× h

ഇതിലെ s എന്നത് പഞ്ചഭുജത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളമായ തിനാൽ, 5s എന്നത് പഞ്ചഭുജത്തിന്റെ ചുറ്റളവാണ്. ഇതിനെ p എന്നെഴുതിയാൽ,

 പഞ്ചഭുജത്തിന്റെ പരപ്പളവ്  1/2 ph . 

സമപഞ്ചഭുജത്തിനു പകരം ഏതു സമബഹുഭുജം എടുത്താലും അതിന്റെ പരപ്പളവ് ഇതുപോലെ ചുറ്റളവിന്റെയും കേന്ദ്രത്തിൽനിന്നുള്ള ലംബനീളത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണെന്നു കാണാം. വൃത്തത്തിനുള്ളിലെ ബഹുഭുജം മാറുമ്പോൾ, ചുറ്റളവും, ഈ ലംബനീളവും മാറും.

  

      വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമഭുജ (തികോണം മുതലുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ചുറ്റളവുകൾ ക്രമമായി

 p1, p2 ,p3.... എന്നും 

വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽനിന്ന് ഒരു വശത്തേക്കുള്ള ലംബനീളങ്ങൾ 

h1, h2 , h3..... എന്നുമെടുത്താൽ, 

പരപ്പളവുകൾ 

1/2 p1h1, 1/2 p2 h2,1/2 p3 h3.....

 എന്നിങ്ങനെയാകും

ഇവയിലെ P1, P2, P3.....എന്നീ ചുറ്റളവുകൾ, വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റ ളവിനോട് അടുത്തടുത്ത് വരും; h1, h2,h3...., എന്നീ ലംബനീള ങ്ങൾ, വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിനോട് അടുത്തടുത്തു വരും. 

അതിനാൽ, ഇവയുടെ ഗുണനഫലങ്ങൾ, വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിന്റെയും, ആരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിനോട് അടുത്തടുത്തുവരും.

       

          ജ്യാമിതീയമായി നോക്കുമ്പോൾ വൃത്തത്തി നകത്തെ സമബഹുഭുജങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകൾ വൃത്തത്തിന്റെ പര പളവിനോട് അടുക്കുന്നു എന്നു കാണാം; ഇക്കാര്യം സംഖ്യാപര മായി വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ ഈ പരപ്പളവുകൾ വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിന്റെയും ആരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയോട് അ ക്കുന്നു എന്നു മനസിലാക്കാം. 

         വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, അതിന്റെ   ചുറ്റളവിന്റെയും ആരത്തിന്റെയും

  ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.

വൃത്തത്തിന്റെ ആരം r എന്നെടുത്താൽ വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ്

1 /2 x 2πr x r = π r²

വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, ആരവർഗത്തിന്റെ π മടങ്ങാണ്.

Questions:

https://forms.gle/5vLmTjXVKsk9oAJc8

Video

Presentation 

https://docs.google.com/presentation/d/1nVRip9Di3me9_vBaXjTWSsY0RSpvO6Fu/edit?usp=drivesdk&ouid=117911895984713065129&rtpof=true&sd=true

Reference 

1. https://youtu.be/SwFT-7SMMXg

2.  https://youtube.com/watch?v=HE12r4vCwII&feature=share